主效应和交互作用是试验设计的一个非常重要的概念，在详细介绍可能的设计类型、统计分析之前，更彻底的理解是至关重要的。
从爱迪生到DoE：告别蛮力试验 介绍了试验设计的优势：DoE有更高的试验效率（更少的试验次数），最重要的是可以量化因子之间的交互作用，这是传统的盲猜法（最佳猜测法）和一次一因子法所欠缺的。
DoE基本术语 介绍了主效应和交互作用的定义和计算过程。
2024年下半年，我在部门内这样分享DoE的优势，但事后发现，这还远不能激发大家的兴趣。
交互作用的本质是什么？因子之间存在显著的交互作用，然后呢？这
就是本文要努力回答的问题。
一、交互作用的本质
理解交互作用（interaction）的关键是可加性（additive）。
考虑一个具有两因子A和B的试验，每个因子有4个水平。举个例子，可以将A的水平视为光固化胶带的四个光强条件，将B的水平视为光引发剂添加量；响应变量是胶带剥离强度。假定没有不可控的变异，获得如下表格的测试结果[2]
从表格中可以看出如下的规律：（a）对于B的所有水平和行平均值，A的任意两个水平对应的观测值之差均相等。例如，A从水平1到水平3时，响应加1；A从水平1到水平2时，响应加3。
（b）同理，对于A的所有水平和列平均值，B的任意两个水平的观测值之差均相等。条件（a）、（b）是相互等价的。如果符合以上的规律，我们就说因子A和因子B对观测的影响是可加的。
可加性的含义是，总响应的变化等于独立改变两个因子的单独变化之和。每个因子对观测值的独立影响，可以用每个因子的主效应来量化。即有：
观测的总变化=A变化的平均效应+B变化的平均效应；
备注：如果符合可加性，因子的主效应进而可以使用相应的行平均值或列平均值比较而来。例如，将A的水平2与水平1进行对比的主效应是15.25-12.25=3，以此类推。
基于可加性的定义，我们就很容易解释交互作用：如果因子A和B是可加的，我们就说因子A和B不存在交互作用；否则，我们就说A和B之间存在交互效应。
实际试验中必然存在不可控变异的干扰，要想判断交互作用是否存在，首先，可以用“交互作用图”定性判断，如下图所示，平行的红蓝两条线代表不存在交互作用，交叉越明显，代表交互作用越显著。其次，统计分析会计算因子和交互作用的显著性，给出更准确的p值信息。
即使不考虑不可控变异的干扰，现实情况是，多数试验是不符合可加性原理的，换言之，因子间的交互作用是非常普遍的；这是“复杂系统”的非线性本质的体现，更是试验设计的价值所在。
当有交互作用时，为避免产生令人误解的结论，必须用析因设计。——《试验设计与分析》
二、第一性原理：探究交互作用背后的特殊含义
因为埃隆·马斯克而广为人知的第一性原理，强调从最基本的原理出发进行推理，而不是依赖类比或假设。
不论交互作用的统计分析结果是否显著，我们都要努力去理解实际发生的一切，理解该结论的物理意义，不能停留在显著与否（p值多少）这一个层次。
为什么要深究交互作用背后的特定意义？
首先，这有助于真正理解试验的控制机制，将输入和输出之间的模型推而广之，从一次的试验结论逐渐总结成更普遍的知识点。
（假定A和B存在显著的交互作用）交互效应的实际重要性在于，如果我们希望对B的水平提出技术建议，则有必要考虑A的哪个水平该出现。进一步地，除非交互效应的本质被充分理解了，否则将使用B的结论推广到试验中没有出现的A的水平上将是困难的。《试验设计》
其次，虽然假设检验中“拒绝是有说服力的，无法拒绝是没有说服力的”，但统计上有说服力，并不意味着“显著的交互作用一定具有真实意义”，一个典型的情况是，有的交互作用可以通过对观测值的变换消除掉。
所以，要努力从原理上解释那些显著的主效应和交互作用，特别是很多二交互作用甚至三交互作用都显著的情况，一定要小心。
[1] 《试验设计与分析》
[2] 《试验设计》
[3] Design of Experiment Methods in Manufacturing: Basics and Practical Applications, January 2012, DOI: 10.1007/978-3-642-25859-6_1
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